なぜ梅雨と呼ぶかについては2つの説が有力のようです。一つは、（1）の説。もう一つが、中国で黴（かび）が生えやすい時期に降る雨だから「黴雨（ばいう）」と呼ばれていたが、語感が良くないため季節に合った「梅」の字を当てたという（2）の説です。
その他に、この時期は毎日のように雨が降るから「毎」に似た字の「梅」を当てたとか、いつもの「倍」も雨が降るからなどの説も。

いずれにしても、中国から日本に伝わった時点では「梅雨」であり、これを「つゆ」と読むようになったのは江戸時代頃。なぜ「つゆ」と読むのかにも諸説あります。
雨の季節の「露（つゆ）」からの連想、梅の実が熟し潰れる時期だから「漬ゆ（つゆ）」、かびで物がそこなわれるから「費ゆ（つひゆ）」など、どれもなるほど！と思わされます。

語源ひとつをとっても面白い「梅雨」ですが、俳句の世界では、「梅雨晴れ」、「梅雨夕焼け」、「梅雨の雲」、「梅雨の月」、「梅雨の星」、「梅雨の闇」、「早梅雨」などたくさんの梅雨のつく季語があるようです。自然を描写する日本語表現は本当に情緒豊かですね。

参考リンク
語源由来辞典|梅雨
tenki.jp｜梅雨の季語…一日の中で見つける言葉
なんでも雑学｜梅雨(つゆ)と梅の関係
Wikipedia｜梅雨

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